IQ 题目、数学公式
及格分数 和 六标准差
[ 2007/08/30 10:56 | by haryewkun ]
为什么一般上60分算及格，有人说是随意设定的，但我覺得是有理由的呀……
及格和不及格，是有一個界定，也就是說多少分是屬于正常讀書必須達到的範圍，多少分則是懶惰、必須加倍努力的範圍。
給你一百題，每題一分，在一定的樣本數里面，做一個統計。正常來說，每個人會拿的分數，會跟隨一個波動來分布。
拿100分和拿0分的人是很少的，大多數人會集中在大約60~80分之間，90分的人就相對少。
這個問題，和業界的六標准差是很類似的。如果說學生是學校生產的產品，那麼這種“產品”必須要達到多高的品質，就取決于此。
如果40分就及格，會讓太多人及格，如果80分才及格，又會讓太少人及格，如果95分以上才及格，可以及格的人就屈指可數了。
所以看不同的戕況，會有不一樣的及格分數。越是需要嚴謹不可出錯的操作，不是問題變難，就是及格分數變高。及格分數，代表你在100題內答對幾題，也同時表現出你答錯幾題。
業界的六標准差，以最高標准來說，不良率要少于百萬份之 3.4。也就是說，給你一百萬道題目，你只可以答錯三題。
現在學校如果設定為60分及格，意味著一個標准差，也就是100題內答對60題就及格了。（印象中兩個標准差要90分，三個標准差就更高了）
線性代數有什麼用？离散数学有什么用？汉晋唐宋元明清的历史有什么用？有时候难免会有这样的疑问，我们读的这些学问，有什么用？
其实，很多學問都是用途的，只是它的用途往往会出现我们想象不到的地方。
最簡單的，就是很多人已经提出過的，有一天有一個地方，我们會不知不覺地發現，我们需要解決的地方，需要用到這一項小道具。
很多人從現實的經歷，感覺很多東西他永遠都沒有用到。這是事實，因為很多人一直都躺在社會的最基層，永遠沒有努力向上过。
一個小兵，只精通射擊技術，而厭惡戰術及兵法的相關課程。結果他終其一生都是小兵，也真的不會用到戰術及兵法理論。
另外，要更進一步，我们便需要某些前置的投資及理念。許多即時戰略游戲，我们可以只建barrack，生產最基本的兵種，但我们不建升級用的建築，我们永遠也不能夠生產更高級的兵種啊！
很多專業學問，都是在尋找突破的時候才需要。有時候，想法的獨特，其實就是因為對方比我们多懂了一項學問，然後又能融會貫通。突破的途徑，往往不是來自本業，而是來自觸類旁通。
所以有人說他終生不會用到某項學問，或许这是事实，但这不妨碍我们努力追求更多的知识。就好像一座大廈有十層樓，你住在第十樓，但沒有了第一樓，上面的九層樓終究蓋不起來。
其实，很多學問都是用途的，只是它的用途往往会出现我们想象不到的地方。
最簡單的，就是很多人已经提出過的，有一天有一個地方，我们會不知不覺地發現，我们需要解決的地方，需要用到這一項小道具。
很多人從現實的經歷，感覺很多東西他永遠都沒有用到。這是事實，因為很多人一直都躺在社會的最基層，永遠沒有努力向上过。
一個小兵，只精通射擊技術，而厭惡戰術及兵法的相關課程。結果他終其一生都是小兵，也真的不會用到戰術及兵法理論。
另外，要更進一步，我们便需要某些前置的投資及理念。許多即時戰略游戲，我们可以只建barrack，生產最基本的兵種，但我们不建升級用的建築，我们永遠也不能夠生產更高級的兵種啊！
很多專業學問，都是在尋找突破的時候才需要。有時候，想法的獨特，其實就是因為對方比我们多懂了一項學問，然後又能融會貫通。突破的途徑，往往不是來自本業，而是來自觸類旁通。
所以有人說他終生不會用到某項學問，或许这是事实，但这不妨碍我们努力追求更多的知识。就好像一座大廈有十層樓，你住在第十樓，但沒有了第一樓，上面的九層樓終究蓋不起來。
怎样快速计算一个数字能否被三整除（二）
[ 2007/02/12 03:48 | by haryewkun ]
怎样证明“把全部数字加起来，就知道能否被三整除”这一篇，拖稿了很多天，这里就补上续集吧。
随便给个数字，1234567，把全部数字加起来，1+2+3+4+5+6+7 = 28，这个数字无法被3整除，会剩下1，所以1234567也无法被三整除，1234567 / 3 = 411522.333，的确会剩下 1。
我开始思考，首先，把全部的数字加起来这个步骤，很明显地表示，数字的前后并不会影响结果。1234567 或 7654321，都是1+2+3+4+5+6+7，加起来的结果，也是 28，同样无法被三整除。
所以我先得到一个关键：数字的前后不会影响结果。
那就很有意思了。这个公式既然是成立的，那么很明显，1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果，应该都是一样的。而 2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果，也应该是一样的。为什么呢？
我从这一点进一步思考。我在心中默默计算，发现：
1000 被三整除，会剩下 1
10000 被三整除，会剩下 1
100000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
20000 被三整除，会剩下 2
200000 被三整除，会剩下 2
似乎有些规律！
1000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
3000 被三整除，会剩下 3
4000 被三整除，会剩下 4
5000 被三整除，会剩下 5
……
……
这里面，似乎发现了两个规律。
第一，一个数字不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的。1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是 1，2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果都是 2。
第二，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，那么 1000 被三整除的余数就是 1，那么
2000 = 1000 x 2 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 2 = 2
3000 = 1000 x 3 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 3 = 3
……
……
9000 = 1000 x 9 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 9 = 9
到此，已经接近解答了。
不管多长的数字，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，所以我们可以把该数字极大地简化。既然 1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是一样，那么1234567 和 7654321 和 1357246 也都只是 1+2+3+4+5+6+7 的组合。
既然只是 1+2+3+4+5+6+7，那么就是 28，也就是无法被三整除，余数是一。
可是，规律一只是经验法则，我并没有真正地证明它。为什么一个零不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的？
这就有点难了。我想了一会儿，嗯，想到了。
1000 的余数是 1
2000 的余数是 2
3000 的余数是 3
……
……
9000 的余数是 9
OK，这是第二条规律。上面已经说。我就想：为什么 2000 的余数刚好是 1000 的余数的一倍呢？换言之，为什么第二条规律成立呢？
答案是：
1000 = 999 + 1
2000 = 1998 + 2
3000 = 2997 + 3
4000 = 3996 + 4
我们可以简化成
1000 = ( 999 x 1 ) + 1
2000 = ( 999 x 2 ) + 2
3000 = ( 999 x 3 ) + 3
4000 = ( 999 x 4 ) + 4
不管一个数字后面有多少个零，上表都能够成立：
1000000 = ( 999999 x 1 ) + 1
2000000 = ( 999999 x 2 ) + 2
3000000 = ( 999999 x 3 ) + 3
4000000 = ( 999999 x 4 ) + 4
所以，我们便能够证实，不管 1 后面有多少个零，它的余数都必然是 1，不管是 1000 或 10000 或 100000，结果都一样。因为：
1000 = 999 + 1
10000 = 9999 + 1
100000 = 99999 + 1
……
……
这个规律，可以应用到无限大的长度。不管有多少零，我都可以放上同样长度的 999999……9999。最后剩下的余数，还是 1。
而 9999……9999 不论有多少个 9，它都可以被三整除。
既然一个数字不管后面有多少个零，它的余数都必然是 1，那么所有数字都可以被简化成多少个位数。而因为 1 的数字的余数就是 1，2的数字余数就是 2，那么把全部数字加起来，就知道能否被三整除。
这是个小窍门，但是有些数字，的确需要这个小窍门。
普通计算机只有八个或九个位元，科学计算机有十二个位元，只要超过这个长度，就无法计算余数的问题。
电脑程式如果特别编写过，可以用字串代表数字，那么记忆体多长，电脑就可以计算多长的数字。这对大部分情况都是够用了。只是如果输入指数天梯，那么还是可以超过电脑的记忆体长度的。
当然，一个指数天梯，有什么理由或情况，需要去算它的余数呢？那就和本题目无关了。
随便给个数字，1234567，把全部数字加起来，1+2+3+4+5+6+7 = 28，这个数字无法被3整除，会剩下1，所以1234567也无法被三整除，1234567 / 3 = 411522.333，的确会剩下 1。
我开始思考，首先，把全部的数字加起来这个步骤，很明显地表示，数字的前后并不会影响结果。1234567 或 7654321，都是1+2+3+4+5+6+7，加起来的结果，也是 28，同样无法被三整除。
所以我先得到一个关键：数字的前后不会影响结果。
那就很有意思了。这个公式既然是成立的，那么很明显，1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果，应该都是一样的。而 2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果，也应该是一样的。为什么呢？
我从这一点进一步思考。我在心中默默计算，发现：
1000 被三整除，会剩下 1
10000 被三整除，会剩下 1
100000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
20000 被三整除，会剩下 2
200000 被三整除，会剩下 2
似乎有些规律！
1000 被三整除，会剩下 1
2000 被三整除，会剩下 2
3000 被三整除，会剩下 3
4000 被三整除，会剩下 4
5000 被三整除，会剩下 5
……
……
这里面，似乎发现了两个规律。
第一，一个数字不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的。1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是 1，2000 和 20000 和 200000 被三整除的结果都是 2。
第二，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，那么 1000 被三整除的余数就是 1，那么
2000 = 1000 x 2 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 2 = 2
3000 = 1000 x 3 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 3 = 3
……
……
9000 = 1000 x 9 ，所以它的余数 = 1000 的余数 x 9 = 9
到此，已经接近解答了。
不管多长的数字，因为一个数字不管后面有多少个零，被三整除的结果都是一样的，所以我们可以把该数字极大地简化。既然 1000 和 10000 和 100000 被三整除的结果都是一样，那么1234567 和 7654321 和 1357246 也都只是 1+2+3+4+5+6+7 的组合。
既然只是 1+2+3+4+5+6+7，那么就是 28，也就是无法被三整除，余数是一。
可是，规律一只是经验法则，我并没有真正地证明它。为什么一个零不管后面有多少零，被三整除的结果都是一样的？
这就有点难了。我想了一会儿，嗯，想到了。
1000 的余数是 1
2000 的余数是 2
3000 的余数是 3
……
……
9000 的余数是 9
OK，这是第二条规律。上面已经说。我就想：为什么 2000 的余数刚好是 1000 的余数的一倍呢？换言之，为什么第二条规律成立呢？
答案是：
1000 = 999 + 1
2000 = 1998 + 2
3000 = 2997 + 3
4000 = 3996 + 4
我们可以简化成
1000 = ( 999 x 1 ) + 1
2000 = ( 999 x 2 ) + 2
3000 = ( 999 x 3 ) + 3
4000 = ( 999 x 4 ) + 4
不管一个数字后面有多少个零，上表都能够成立：
1000000 = ( 999999 x 1 ) + 1
2000000 = ( 999999 x 2 ) + 2
3000000 = ( 999999 x 3 ) + 3
4000000 = ( 999999 x 4 ) + 4
所以，我们便能够证实，不管 1 后面有多少个零，它的余数都必然是 1，不管是 1000 或 10000 或 100000，结果都一样。因为：
1000 = 999 + 1
10000 = 9999 + 1
100000 = 99999 + 1
……
……
这个规律，可以应用到无限大的长度。不管有多少零，我都可以放上同样长度的 999999……9999。最后剩下的余数，还是 1。
而 9999……9999 不论有多少个 9，它都可以被三整除。
既然一个数字不管后面有多少个零，它的余数都必然是 1，那么所有数字都可以被简化成多少个位数。而因为 1 的数字的余数就是 1，2的数字余数就是 2，那么把全部数字加起来，就知道能否被三整除。
这是个小窍门，但是有些数字，的确需要这个小窍门。
普通计算机只有八个或九个位元，科学计算机有十二个位元，只要超过这个长度，就无法计算余数的问题。
电脑程式如果特别编写过，可以用字串代表数字，那么记忆体多长，电脑就可以计算多长的数字。这对大部分情况都是够用了。只是如果输入指数天梯，那么还是可以超过电脑的记忆体长度的。
当然，一个指数天梯，有什么理由或情况，需要去算它的余数呢？那就和本题目无关了。
怎样快速计算一个数字能否被三整除
[ 2007/02/06 02:54 | by haryewkun ]
小时候，大约二年级的时候，我就从书中读过一个数学上的小窍门：怎样快速计算一个数字，是否能够被三整除。
比方説：123456789 这个数字，是否能够被三整除？
照正常的方法，我们必须慢慢去除，也就是 123456789 / 3 = 41152263，答案是整个数字可以被三整除。
毫无疑问，这个方法很费时，即使有计算机，我要是给你一个二十位数的数字，一样算不了。因爲计算机能够储存的位元是有限的。所以，这个时候，就要用小窍门。
再来一次：123456789 这个数字，是否能够被三整除？
小窍门的做法是这样，把所有数字加起来：1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，得出来的数目如果能够被三整除，那么原本的数目就可以被三整除。很明显 45 可以被三整除，所以 123456789 也可以被三整除。
就是这样简单。
随便再来一题，789456 可以被三整除吗？
7+8+9+4+5+6 = 39，是的，这个数字可以被三整除。
如果还不明白，就再来一题，20070206 可以被三整除吗？
2+0+0+7+0+2+0+6 = 17，用三去除会剩下 2，无法被三整除。
证明：20070206 / 3 = 6690068.666666 ，所以的确会只剩下 2。
（如果看不懂的话请留言）
这小窍门我在很小的时候就看过了，而这不是这篇文章的重点。重点是，前一阵子，我躺着胡思乱想的时候，忽然间想到了一个疑问。爲什么把全部数字加起来，就能够知道是否可以被三整除？它的原因何在？
当然，这是比较白话的説法。比较正式的説法，就是说这个小窍门，是否可以在数学上被证明？
比方説：123456789 这个数字，是否能够被三整除？
照正常的方法，我们必须慢慢去除，也就是 123456789 / 3 = 41152263，答案是整个数字可以被三整除。
毫无疑问，这个方法很费时，即使有计算机，我要是给你一个二十位数的数字，一样算不了。因爲计算机能够储存的位元是有限的。所以，这个时候，就要用小窍门。
再来一次：123456789 这个数字，是否能够被三整除？
小窍门的做法是这样，把所有数字加起来：1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，得出来的数目如果能够被三整除，那么原本的数目就可以被三整除。很明显 45 可以被三整除，所以 123456789 也可以被三整除。
就是这样简单。
随便再来一题，789456 可以被三整除吗？
7+8+9+4+5+6 = 39，是的，这个数字可以被三整除。
如果还不明白，就再来一题，20070206 可以被三整除吗？
2+0+0+7+0+2+0+6 = 17，用三去除会剩下 2，无法被三整除。
证明：20070206 / 3 = 6690068.666666 ，所以的确会只剩下 2。
（如果看不懂的话请留言）
这小窍门我在很小的时候就看过了，而这不是这篇文章的重点。重点是，前一阵子，我躺着胡思乱想的时候，忽然间想到了一个疑问。爲什么把全部数字加起来，就能够知道是否可以被三整除？它的原因何在？
当然，这是比较白话的説法。比较正式的説法，就是说这个小窍门，是否可以在数学上被证明？
IQ题：十叠硬币中的假硬币
[ 2006/08/10 17:20 | by haryewkun ]
问题
有十叠硬币，每一叠有十枚硬币。当中有一叠硬币是假的。真的硬幣重 10gram，假的硬幣重 11 gram。现在有一个秤(普通秤) ，只可以秤一次，要如何知道哪一叠硬币是假的?
答案
從第一堆拿一枚硬幣，
從第二堆拿兩枚硬幣，
從第三堆拿三枚硬幣，
從第四堆拿四枚硬幣，
以此類推，一直到
從第九堆拿九枚硬幣，
總共有 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 枚硬幣。
然後去秤，如果裏面每一枚硬幣都是真的，那麽總重量就應該是 45 x 10gram = 450 gram.
但是裏面有假的硬幣嘛！而假的硬幣每一枚都比真的硬幣多 1 gram，所以，拿總重量，減 450 gram，就知道裏面有多少枚假硬幣。
比方發現總重量是 458 gram，就知道裏面一共有八枚假硬幣。回想剛才拿硬幣的過程，八枚假硬幣，就必定是從第八曡的硬幣裏面拿出來的。所以不管怎樣，你只需要一次，就能夠知道那一曡硬幣是假的。
有十叠硬币，每一叠有十枚硬币。当中有一叠硬币是假的。真的硬幣重 10gram，假的硬幣重 11 gram。现在有一个秤(普通秤) ，只可以秤一次，要如何知道哪一叠硬币是假的?
答案
從第一堆拿一枚硬幣，
從第二堆拿兩枚硬幣，
從第三堆拿三枚硬幣，
從第四堆拿四枚硬幣，
以此類推，一直到
從第九堆拿九枚硬幣，
總共有 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 枚硬幣。
然後去秤，如果裏面每一枚硬幣都是真的，那麽總重量就應該是 45 x 10gram = 450 gram.
但是裏面有假的硬幣嘛！而假的硬幣每一枚都比真的硬幣多 1 gram，所以，拿總重量，減 450 gram，就知道裏面有多少枚假硬幣。
比方發現總重量是 458 gram，就知道裏面一共有八枚假硬幣。回想剛才拿硬幣的過程，八枚假硬幣，就必定是從第八曡的硬幣裏面拿出來的。所以不管怎樣，你只需要一次，就能夠知道那一曡硬幣是假的。
IQ题：九颗钻石中的假钻石
[ 2006/08/10 17:19 | by haryewkun ]
问题
有九颗钻石，其中有一颗是假的。那颗假的钻石只有真钻石一半的重量。现在你有一个天平秤(像国阵标志的那个。。。) ，你只可以秤两次，然后就要断定九颗钻石中，那一颗是假的。你要怎样秤呢?
答案
把九顆鑽石分作三堆（所以每堆三顆），然後對秤第一次。答案會有三個可能：左邊比較輕、右邊比較輕、兩邊一樣（所以沒秤的那堆比較輕）這樣就知道那一堆比較輕了。
現在拿那一堆比較輕的出來，裏面有三顆鑽石，有一顆是假的。
接下來就簡單了，拿兩顆鑽石出來，一個放左邊，一個放右邊，再秤一次。
1. 如果左邊比較輕，左邊那顆就是假的鑽石。
2. 如果右邊比較輕，右邊那顆就是假的鑽石。
3. 如果兩邊一樣重量，那麽剩下的那顆鑽石就是假的。
有九颗钻石，其中有一颗是假的。那颗假的钻石只有真钻石一半的重量。现在你有一个天平秤(像国阵标志的那个。。。) ，你只可以秤两次，然后就要断定九颗钻石中，那一颗是假的。你要怎样秤呢?
答案
把九顆鑽石分作三堆（所以每堆三顆），然後對秤第一次。答案會有三個可能：左邊比較輕、右邊比較輕、兩邊一樣（所以沒秤的那堆比較輕）這樣就知道那一堆比較輕了。
現在拿那一堆比較輕的出來，裏面有三顆鑽石，有一顆是假的。
接下來就簡單了，拿兩顆鑽石出來，一個放左邊，一個放右邊，再秤一次。
1. 如果左邊比較輕，左邊那顆就是假的鑽石。
2. 如果右邊比較輕，右邊那顆就是假的鑽石。
3. 如果兩邊一樣重量，那麽剩下的那顆鑽石就是假的。
